天朝第一学神胥晓宇:数学物理竞赛经历和心得体会!适合竞赛党深读

校内外官方   04-17 18:01

胥晓宇,人大附中毕业生,数学物理双料学神。高中数学物理国家集训队(高联北京第2名,物理第1名),随后CMO金牌,CPhO银牌。2014年IPhO全世界第一名。2014年普林斯顿本科全奖录取。

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物理集训队最后一天,胥晓宇说,“人过留名,雁过留声”,我学了这么多年的竞赛,在心态,学习,考试等方面都有一些心得,要是消逝在记忆之中,未免有些遗憾。所以愿意整理出这样一份心得体会,全都是肺腑之言,希望能对广大竞赛同胞们有所帮助。

1、明心见性,直指本心

是亦不可以已乎?此之谓失其本心。——《孟子·告子上》

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细细数来,初步接触竞赛,数学是小学三年级进入华校,物理是初二;而进入CMO和CPhO,那都是高中的事了。很多人都会有疑问:学这么多年的竞赛,到底是为什么?

实话实说,小学的时候学习数学竞赛,说的好听点,是出于好胜心和自尊心;说的实在点,就是好面子,听见别人夸奖心里高兴,自得。当然也有“兴趣”。注意,兴趣和自得之心是完全可以一致的。

但是到了中学,尤其是进入高中以后,上述心态固然存在(所谓本性难移是也),但更多的则是真正有求知欲,并且能在数竞中发现乐趣。我记的特别清楚的一次是去年的暑假,在上海旁听国家队培训的时候,有一个数论题。有两个参数m和k,让你证一个结论。我用了一个小时,一直对着m“使劲”,毫无斩获;后来灵机一动,对着k“使劲”,豁然而解。(好吧,没有原题就跟看笑话似的)当时就特别特别高兴,就有一种“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处”的感觉。我觉得这就是数学竞赛中的乐趣。

当然了,我学物理竞赛也经历了这样的过程,到了高二的暑假,才渐渐体会到物理的乐趣。这与“本心”无关,故后述。

所以现在,我在竞赛方面,确实是做到了“明心见性,直指本心”。有虚荣心,但更多的是对它们的喜爱(之所以用喜爱而不用热爱,是因为两科我身边都有比我更“热爱”的人)。我称这份喜爱为“本心”。当然了,从虚荣心为主到本心为主,自然有一番坎坷。以下为数竞经历。

我从小学开始,一直是所谓天之骄子,一路顶着“北京本届数学最强者”(之一)的光环,一直到高中。由于初三拿了高联一等,高一时信心满满,准备进北京队参加CMO。结果高联失利,136分,一等中下。后经证实,有一道大题本来我的证明是对的,但是吃了鸭蛋,直接把我从省队打到一等中下。听到了消息,申诉,无果,只能饮恨。当然是痛哭了两三次。想法是,明明不是我犯的错,却需要我自己承担苦果。冤枉啊!

然后就是去找老师诉苦。老师显然二十成好人,先是陪着我痛骂一顿判卷的,然后跟我说他当年如何被误判,“巨怒”,结果等他进了省队,当年踩在他头上的几人都放弃竞赛了(跟黄裳似的)。各种开导。我一想,是啊,他们两个显然比我还要惨,我好歹还有两年呢。然后心情就渐渐平静了。老师又说,其实你再想想,如果你实力足够强,那么就算被误判一道,也能进队,那才牛呢。我一想,这很有道理啊,我明年就要远远比其他人强,让那些老师就算误判我也拦不住我进队。然后我就说,其实我还很难受的一点呢,就是同学们显然会认为我数学不是最强的了,而且有的人说的那些话就带刺,我就特别难受。我也知道“走自己的路,让别人说去吧”,但是我的层次还没有这么高。

这其实是很要命的一点,至少这个是我自己最大的弱点——极度自信(乃至自负,后来有改正,但还需努力)自尊心(虚荣心)强。知易行难,我努力忽略一些言辞,有所进步,但或多或少还是有些难受。后来,我又用各种古文安慰自己,特别是“生于忧患,死于安乐”,“塞翁失马”,“是非成败转头空,青山依旧在,几度夕阳红”。特别有用。

好的,继续说。后来,一方面是为了上述“雪耻”,有一股傲气,想要来年即使误判也进队(我的这份傲气确实根深蒂固);另一方面,做题中确实渐渐感受到,而且自己思考自己为何学竞赛时也漫漫认识到,自己不是为了别人学竞赛。然后就真的慢慢把一些事看淡了一些。包括之后罗马尼亚大师杯因种种原因落选,未能去成,也没有那么痛苦了。而且这一年,感觉成熟了很多,坚强了很多。

而且自2011年11月起,自己立下目标,每天做至少一道CMO真题,坚持做了12届,觉得要为下一年留题,就转而做别的了。感觉确实这一年水平有很大提高。高二果然在误判情况下进了省队,也拿了金牌。

物理嘛,也是,高一拿了二等,高二信心十足,想要冲省队,结果最后一道相对论(确实是好题)算出来ε/μ得2c(可见当时确实知识不扎实),我觉得有很多步是对的,但是给了3分,又是没进省队。不过这次我心灵防御力远超高一,自然没有被打垮。

说了这么多,主要是讲了我的一次“破而后立”的过程。大道理不多讲,大家自己体会吧。最后说一句:没有被误判的竞赛生涯是不完整的。希望这对那些曾在或尚在低谷中的同学们有所帮助。

我想说的是从高联失利开始,我个人觉得在走一个前所未有的下坡路。但是我觉得真正对数学精神的理解可能就是这个时期,就是在这个时期(我才)真正知道什么是要坚持,要有毅力。现在还是要感谢两个比我大一点的同学,他们在我失利的过程中,因为想到他们,想到他们曾经和我一样经受住了失败的打击,才有了今天的成绩,他们是督促我继续走下去的朋友。

2、学习数学竞赛的历程


“要多想。”

——《三体Ⅱ·黑暗森林》

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我本人是在初一时基本学完初中课内内容,初二结束后基本学完高中课内内容。这个因人而异,不过肯定是要尽早学完为好。下面进入正题,就是高中数学竞赛的学习。

众所周知,CMO四大项,几何代数数论组合,“知识点”确实比较多。建议是找学校的竞赛课或者课外培训机构,先把竞赛的内容过一遍,达到高联一等的水平。然后,就是要向着CMO前进了,CMO才是真正意义上数学竞赛的第一关。

先说本人经历。初三中考后,去上海数学夏令营,方知自己才疏学浅。在那里连学十天,感觉水平大涨。

高一,由于还要上学,也就是把CMO真题做了一半,看了(没有做)四本奥赛经典(最好不要看他的几何和组合)。高二,进队后,把CMO真题和其他一些MO难度的题做了,然后CMO。CMO后,做了近五六年的集训队题,看了《数学竞赛研究教程》,然后TST。TST后会学校老老实实待了半学期,去上海旁听国家队培训。暑假又做了一点单墫老师的小册子,还有《不等式的秘密》。主要在弄物理。

高三,物理TST期间又做了一遍CMO,TST后,做了一些题,然后,就没有然后了。从高一到高二暑假,有一些人大附中的学长给我们讲课,感觉受益良多。

总之,我自己感觉数学看的做的书并不多(实际上少的可怜),但是我感觉自己有一个非常非常大的优势,就是我特别爱思考且会思考。

这里的思考不是指做题,是指做题后的总结。我总是喜欢在做完一道好题之后,“高屋建瓴”地写上几句高大上的点评,刚开始确实拙劣,不过慢慢就有感觉了,往往可以抓住题目中蕴含的思想or技巧中的精髓。

荀子说,“吾尝终日而思矣,不如须臾之所学也。”这固然有道理,但是有些同学是“学而不思则罔”,做一道题没做出来,一看解答,“哦,原来这么简单,一下子就出来了”。然后就走了,去做别的题。这么说的确夸张,更常见的是,看了解答,每一步都会,就是不知道解答是怎么想出来的。这样,下次出现蕴含同样思想的题,照样做不出来。

我每次遇到没做出来的,或是做出来感觉做法极其巧妙的,都会问自己这样几个问题:答案为什么这么想?是有条件或是结论的提示,是有熟知的定理,还是有一个很自然的题眼我没有发现?我为什么没有这么想?应该怎样使得下次这样想?这道题里头,有什么技巧值得借鉴?这道题背后有没有更本质的思想?有没有高等的背景?当然,不是什么时候都能想明白这么多,但是你一旦去想,就会有更深刻的理解。(不过也不要“思而不学则殆”。)

关于推荐书目,由于我本人看的做的书确实不多,就不贻笑大方了。不过我可以给出一份历届CMO好题单子,当然是我自己总结的,总结于第一次参加CMO之前,如下:


1、CMO 6-6 足球-三色丝线-顶点放数-积为一;与之类似的有CMO5-6,3n边型三角剖分一笔画。关键在于抓住染色的特点,从染色本身的规律性入手。比如,用赋值法运用颜色的性质。另一种是CMO1-6, 关键在于用已有条件找到“更好用”的条件,即条件的减弱型转化。

2、CMO 8-4,类似于CMO1-3, 复数题要会转会放。找模长最长的复数的和,用于构造性的证明存在性。

3、CMO 8-6,说不清,上归纳。适用于形式上有递归性的题目。

4、CMO 9-3,函数方程的值域分析。“偏差会放大”。

5、CMO 9-4,根的构造性使用。类比“整除选择器”。

6、CMO 10-2,函数方程,重观察。

7、CMO 12-5,构造图来说理。

8、CMO 13-5,漂亮的辅助线 托勒密不等式

9、CMO 14-2,好题!由尝试归纳证明发现等式1,再回头证明此等式。后面一问再用系数关系推导,充分用好前面的结论。我当时急于求成,直接干二,是找规律做的,就没能发现此题精髓。

10、CMO 14-3, 互通四站组。关键在于理解“主干道”。它不过是改变了一点出入度的总数。

11、CMO 14-6, 巧妙转化。

12、CMO 15-6, 抓住本质。5不是关键,“至多3个不同才是”,想到抽屉。当然后面的构造也很巧妙。

13、CMO 17-2, 迭代消“常数”。

14、CMO 17-3

15、CMO 18-2,论证部分,先找性质再推,思想和写法都好。

16、CMO 18-3,放缩技巧很好。而且思路很好:先放,解决一部分,而另一部分可以回头再从头解决。

17、CMO 19-3,抽屉原理配奇偶点;凸形,用覆盖来说。

18、CMO 21-3,牢记这个配方法。联系:4k 1素数可表示为x2 y2.

19、CMO 21-6,组合计数,直接上“全局”算两次,差一点点;可以先通过抽屉原理用好“整数”条件,“克扣“一点。

20、CMO 22-3,精彩!太精彩了!两数相等推出奇等于偶为入手点,后面的“挪位”有奇效。

21、CMO,24-6,构造性的思路,先做弱化的结论,一步一步来。我的思维过程是2-1-3

22、CMO,25-3,见下

23、CMO,25-5,好题!主动分段 抽屉原理

24、CMO,25-6,构造性取大素数;费马小定理 孙子定理

25、CMO,26-2,几何辅助线多试,共圆要多找,条件要集中起来。

26、CMO,26-3,阿贝尔变换,说理清晰。选明考察对象,比如此题中是各min和他们的个数。

27、CMO,27-2,用“块”来说明,考察最小的不在“块”内的即可。选取“极”来说理。

28、CMO 28-? 明天揭晓。

29、CMO 29-5 拼凑出来的题,但也还不错了。

30、CMO 30-6,确实是好题。我做了3个小时,一开始就知道是抽屉原理,但一直想要找等差一样的东西,结果找不到。作为反面例子,告诉大家,不要一开始就把结论加强并且一直按照加强后的东西做。


3、备考数学竞赛心得

众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处。

——《青玉案·元夕》

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之前提了几句关于数学竞赛中的乐趣。其实王国维的三境界说对于任何学问任何事业都适用。我要强调的最关键的一点,就是要在数学竞赛中有“慧眼”,看得出来题目到底想让你干什么。不讲大道理了,下面是几个实例。由浅入深。

比如,有一个小结论,是说对于一个无理数a,对任意ε>0,存在整数b,使得{ab}<ε。这样一个结论,在我的脑海中,一方面是有一个小人在一个单位园上走,走啊走,走啊走,每一步走一个固定的距离,永远不回原点,那么总有一些时刻他可以离原点特别近;另一方面,走了很久之后,他的足迹在圆上特别的密。然后再看这么一个题:“求证:2的幂次的数字和是没有上届的。”这下,很自然想到反证法,“假设有上界”,怎么找一个更大的呢?如果有一个2的幂,它的长相是一个1后面一堆0,再一堆别的,使得后面的那一堆乘上已有的数字和最大的那个2的幂以后,后面一堆不影响前面的1乘上已有的2的幂,那么前面的1乘上2的幂数字和就是“最大”,后面又不都是0,就行了。如何找1后面一堆0的2的幂呢?利用lg2是无理数,加上前述结论,就ok。

在以上的思路中,反证是自然的,然后要找一个更大的,那么找100…也很自然,一切水到渠成。大家可以体会一下这里面的思路。

又比如,之前有一个集训队的题目:“证明:不存在长40项的等差数列,使得其每一项都可以表示为一个2的幂次和一个3的幂次之和。”虽说乍一看可以一个指数少一些,一个指数多一些,最后让这些数差不多,但实际上,如题意的数的分布是很“稀疏”的,可以从大小上找到矛盾。指数增长太快是主要矛盾。

又比如,2010年的CMO第三题,先把它看做一个函数,然后看它的“走势”(即导数),发现很有可能是在边界取极值,经过一些“不妨设”,(设b,c为实数)可以发现bz cz2是一个关于x轴对称的图形,要求其边界上任一点到-a距离不足1,于是不妨a是实数。这样abc都是实数了,后面就好做了。或者考虑,z绕着单位园“走一圈”,bz cz2也走一圈,要选取一个a使得bz cz2边界上任一点到-a距离不大于1,那么bz cz2边界上任两点距离不大于2,取恰当的z…又是一种方法。

举了这些例子,主要是想说,大家做题时要明白这个题到底在让你干什么,有一个形象化的认识,看的越清楚越深入,越有可能把题做出来。

下面几点也比较重要。

要知道一些“熟知”的结论,比如2013年CMO第五题,明显是两个陈题拼凑在一起,痕迹明显。这时候,知道一些小性质小结论会很有帮助。所谓题海战术,除了刷熟练度以外,就是为了见多识广一些。当然,我本人没有用过“题海”,我的建议是,至少要把最经典的一些结论知道。联赛前发过两页总结,提到了部分必会的结论,这里就不赘述了。

要会审题。其实跟刚才所说“慧眼”很像,但这里更偏指从条件和结论入手,找一些突破口。比如今年的CMO第六题,结论明显是与抽屉原理有关,所以一开始就应该往抽屉这边想(当然了,也需要进一步的观察)。灵活思考。一条路走不通(当然了,一般是过了一个小时以上毫无进展)可以考虑尝试其他的途径。


4、学习物理竞赛的历程

前人之述备矣。

——《岳阳楼记》

建议不多,就两条:早开始,慢慢学,把基础打牢。还有一个就是要多想,跟数学一样,就不多说了。

这个真心没有太多建议,因为说实话,我的精力还是放在数学上面更多。这次选择去物理国家队,主要原因是学完四大以后,感觉数学竞赛也比较狭隘了,希望学一些大学课程,正好进了国家队以后可以名正言顺的去学大学数学和物理。

下面对比一下数学和物理集训队。

褒物理贬数学:

1、物理的培训:虽说有些课并不好,但还是有一些很好的课。比如理力,热统,原子。但是,数学集训队的“培训”已经丧失了它的意义,大部分集训队员都不会去听大部分的课。原因在于旁听生过多,反客为主。

2、物理集训队:由于大家都会一起上课,交流远远比数学集训队多。我参加完物理,认识了至少一半的人。但是数学结束后,基本没有认识别的省的人。3,物理的学习氛围远远比数学的浓厚。

褒数学贬物理:

1、物理的看管有点过于严格。不能出校门,不能旷课,不能翘自习。但是数学就没有看管。当然,这也造成数学集训队比较松散。希望二者都能改进吧。

2、物理的学习考试内容离国际赛偏差较大。当然了,这严格说来是物理竞赛的弱点,不能算是物理集训队的。

不同点:正如上述,物理TST学、考大学内容。数学TST考更深的数学竞赛内容。高度和深度,见仁见智吧。

最后简单说一下我的大致生活。

早上7点起,假寐片刻,洗漱,下楼早餐(早餐巨黑,一个小包子一块钱。后来有些人就买了面包之类。我是下楼只买豆浆鸡蛋,然后自带面包),去教室,8:30上课,或者无课自习。一般我学一个半小时会休息10min,看小说。11:30下课or下自习,食堂午餐,回房睡午觉。下午2-5,之后晚餐,之后6-10自习。然后回房间,开始写essay。

普光,5天。理力,7天。热统,7天。量子,6天。电动,5天(之前自学过一遍).数理&原子,在老师讲课后再快速自学看书的,1天。累计整整一个月,基本是从零开始学完大学物理基础课。


5、备考物理竞赛心得


览物之情,得无异乎?

——《岳阳楼记》

首先,基本上一般的物理题都变成列式子解方程,不管是普通方程还是微分方程,反正就是先列式子再解罢了。有了数学竞赛的代数功底,这都不难。于是,什么是难题呢?就是模型新颖,不容易列出式子的题,或是式子列得不对就解不出来的题,或是解方程中有技巧的题,或是蕴含高深物理背景,必须对物理知识理解透彻的题(尤其相对论)。模型就要看物理素养(智商),解方程就看熟练以及对几个小技巧的掌握。当然了,对物理本身的理解层次提升,对这几点都有帮助。

下面是数学竞赛在物理中的应用:(我至今只发现这么一个应用,是必须学过数竞才能理解的)。拉普拉斯方程具有反演变换不变性。这里的反演不是那个物理里面经常说的那个取相反数,是数学里面经常说的一种几何变换。这个结论是我自己发现并证明的(为了干掉蔡老师的一道难题),可自豪了。感觉应该是更高等定理的一个推论。要证明的话,用反演变换的保角性和在一点临域的放缩是等比例的即可。这个结论的作用嘛…就是解决一些圆弧形导体的电势分布问题。不赘述了。


6、“兼”字诀

“杨兄弟,你的武功花样甚多,不是我倚老卖老说一句,博采众家固然甚妙,但也不免驳杂不纯。你最擅长的到底是哪一门功夫?”

——《神雕侠侣》

金轮法王真是前辈高手,说的确实不错。同时做数学和物理两科竞赛,相应的投入二者中任何一个的精力都会大减,何况我高中的主项不是两块而是四块——数学,物理,出国(TOEFL, SAT, App),课内学习,而且不客气的说,四个方面中有三个都是巅峰实力(出国考试只能算顶尖实力)。所依赖的就是四个字:专时专用。

首先要有“时”可“用”。我当然不是说大家要天天熬到凌晨——我本人平时是从来不在10点后学习的。我说的是,首先要自制。我也贪玩,特别喜欢看小说,但是幸好既有他律又有自律,没有堕落下去。因为贪玩而竞赛饮恨的例子太多了,要引以为戒。

然后就是“用”的技巧了。其实很简单:什么事情最急迫,就做什么事情。做一件事,就全心、全力去做。比如,我高一的时候平常也做竞赛,但是学校考试之前那是心无旁骛的学课内,认真复习,以至于高一四次大考稳稳占据年级前三。

高一暑假考托福之前,有半个月,每天就是上新东方的课,回家拿着“机经”(事实证明,只有口语一二题有点用,还有一堆错)开始狂说一通。后来要被SAT的单词,那也是一天被3-4小时,以3 list per day的速度推进。

高二进了数学北京队,物理就放了一年,一年都在弄数学,做历届CMO和TST题目。高二暑假,尤其8月份之后,由于之前数学进集训队,不必担心数学高联失手,于是开始全力弄物理,一直到集训队。我高中三年(or 两年半)就是这么过来的,至少就我而言这几项兼顾做的还是很平衡的。只要“在正确的时间做正确的事”,应该就能协调好。

当然,只是个例,除非有底子有信心有兴趣,否则不建议太多项一起做。

不过上面说的“兼”并不是让同学们一心只读圣贤书。我还是有些娱乐活动的,比如爱好读小说,金庸每本看了3 遍,温瑞安的小说都看了,刘慈欣的都看了,番茄的在上一年也都看了…还有桥牌,身属桥牌队总教头胡继超老师座下。而且虽然我桥牌打的不很好,但打牌的确给了我很多乐趣。


7、再扯几句就没有啦

这几天也有一些同学在人人上问。首先,有人问,怎么可以突然“开窍”。表示我自己学数学从来没有感觉过“突然开窍”。都是一点点学,学技巧,然后再慢慢有所感悟,技近乎道。


本文转载于学神胥晓宇,希望对广大竞赛党学习有所帮助。转载请注明原作者。

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